已知雙曲線的焦距為4，以原點為圓心，實半軸長為半徑的圓和直線相切.(Ⅰ)求雙曲線的方程；（Ⅱ）已知點為雙曲線的...

問題詳情：

已知雙曲線的焦距為4，以原點為圓心，實半軸長為半徑的圓和直線相切.

(Ⅰ) 求雙曲線的方程；

（Ⅱ）已知點為雙曲線的左焦點，試問在軸上是否存在一定點，過點任意作一條直線交雙曲線於兩點，使為定值？若存在，求出此定值和所有的定點的座標；若不存在，請説明理由．

【回答】

解：(Ⅰ)        

所以雙曲線的方程為；         ……………4分

（Ⅱ）解法一：當直線為時，

  ……………………5分

當直線不是時，可設代入

整理得        ……………………7分

由得

設方程的兩個根為滿足 

   ………9分

若且唯若時，為定值，

解得，不合題意，捨去，

而且滿足；

綜上得：過定點任意作一條直線交雙曲線於兩點，

使為定值.         ………12分

解法二： 前同解法一，得  …………………9分

由 得，

解得，下同解法一. …………………………………………………12分

解法三： 當直線不垂直軸時，設代入

整理得       …………7分

由得

設方程的兩個根為滿足

……9分

若且唯若時，為定值，

解得，不合題意，捨去，而且滿足；   …10分

當直線軸時，代入得

  ………11分

綜上得：（結論同解法一）               ………………………………………12分

（注：第（II）題有一般*結論）

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題