問題詳情:
已知點為雙曲線:的左、右焦點,過作垂直於軸的直線,在軸上方交雙曲線於點,且,圓的方程是.
(1)求雙曲線的方程;
(2)過雙曲線上任意一點作該雙曲線兩條漸近線的垂線,垂足分別為,求的值;
(3)過圓上任意一點作圓的切線交雙曲線於兩點,中點為,求*:.
【回答】
解(1)設、的座標分別為、
因為點在雙曲線上,所以,即,所以
在中,,,所以
由雙曲線的定義可知:
故雙曲線的方程為: ……………(4分)
(2)由條件可知:兩條漸近線分別為,
設雙曲線上的點,設的傾斜角為,則
則點到兩條漸近線的距離分別為, ……(6分)
因為在雙曲線上,所以
,從而…(8分)所以……………(10分)
(3)由題意,即*:.
設,切線的方程為:,且
①當時,將切線的方程代入雙曲線中,化簡得:
所以:
又
所以
②當時,易知上述結論也成立. 所以
綜上,,所以.
知識點:圓錐曲線與方程
題型:綜合題