設，等差數列中，，記=，令，數列的前n項和為.（1）求的通項公式和；（2）求*：；（3）是否存在正整數，且，使...

問題詳情：

設，等差數列中，，記=，令，數列的前n項和為.

（1）求的通項公式和；

（2）求*：；

（3）是否存在正整數，且，使得成等比數列？若存在，求出的值，若不存在，説明理由.

【回答】

解：（1）設數列的公差為，由,

.解得，=3 ，        ……………2分

 ∴                                         ……………4分

∵，   ∴Sn==.            ……………6分

（2） 

∴              ……………8分

∴                                ……………10分

（3）由(2)知，    ∴，，∵成等比數列.

 ∴                                  ……………12分

 即

當時，7，=1，不合題意；當時，，=16，符合題意；

當時，，無正整數解；當時，，無正整數解；

當時，，無正整數解；當時，，無正整數解；

……………15分

當時， ，則，而，

所以，此時不存在正整數m,n,且1<m<n,使得成等比數列. ……………17分

綜上，存在正整數m=2,n=16,且1<m<n,使得成等比數列. ……………18分[來

另解：

  （3）由(2)知，    ∴，  

∵成等比數列. ∴ ，         ……………12分

取倒數再化簡得 

當時，，=16，符合題意；              ……………14分

，

而，

所以，此時不存在正整數m、n , 且1<m<n,使得成等比數列. ……………17分

 綜上，存在正整數m=2,n=16,且1<m<n,使得成等比數列.  ……………18分

知識點：數列

題型：解答題