⑴.如圖1，是正方形邊上的一點，連接，將繞着點逆時針旋轉90°，旋轉后角的兩邊分別與*線交於點和點.①.線段和...

問題詳情：

⑴.如圖1，是正方形邊上的一點，連接，將繞着點逆時針旋轉90°，旋轉后角的兩邊分別與*線交於點和點.

①.線段和的數量關係是          ；

②.寫出線段和之間的數量關係.

⑵.當四邊形為菱形，，點是菱形邊所在直線上的一點，連接，將繞着點逆時針旋轉120°，旋轉后角的兩邊分別與*線交於點和點.

①.如圖2，點在線段上時，請探究線段和之間的數量關係，寫出結論並給出*；

②.如圖3，點在線段的延長線上時，交*線於點；若 ,直接寫出線段的長度.  

【回答】

考點：旋轉的特徵，正方形以及菱形的*質，全等三角形的*質和判定，相似三角形的*質和判定，等腰三角形以及直角三角形的*質，勾股定理等.

分析：

本題的⑴問的①直接根據旋轉特徵可以得出*；本題的⑴問的②利用旋轉的特徵和全等三角形把轉為等腰直角△的斜邊,再利用勾股定理或者三角函數可以解決問題；本題的⑶問的①和⑴問的②的思路是一樣的，利用旋轉的特徵和全等三角形把轉為等腰△的底邊，再作底邊上的高線，再利用勾股定理或者三角函數解決問題；本題的⑵的②主要利用旋轉的特徵、全等三角形、相似三角形分別求出線段，再把它們加起來求出線段的長.

略解：

⑴.①.根據旋轉的特徵直接可以得出 . 故應填：;·· 2分

   ②.根據旋轉的特徵可知△≌△ ∴ ∴.

   容易*△是等腰直角三角形，利用勾股定理或三角函數可以求出 ,

   即  .······················ 4分

⑵.①.. ······················· 5分

理由如下：

∵四邊形菱形  

∴

由旋轉120°可得:

∴ 即

在△G中,

∴

∴

∴△≌△（ ）

∴ ∴ ················ 8分

如圖所示：過點作點

∵∴

在△中

∴

設，則

∴

∴

∴.··························· 10分

②.的長度為 . ·························· 12分

理由：

根據旋轉的特徵容易*△≌△ ∴；同時利用菱形的*質和旋轉的特徵並結合條件中的“，將繞着點逆時針旋轉120°”可以退推出  ∴;

由菱形可得出∥ ∴△∽△ ∴  ∴

∴.（根據題目要求答卷時可不寫理由.）

點評：

  本題是由旋轉建立起來的圖形；利用旋轉的特徵得出全等三角形、等腰三角形含特殊角的直角三角形，以此為突破口，並在此基礎探究線段之間的數量關係.本題雖然難度不大，但串聯起了初中幾何部分的多個重要知識點，是一道高質量的中考題.

知識點：各地中考

題型：綜合題