已知ab≠0，求*：a＋b＝1的充要條件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.

問題詳情：

 已知ab≠0，求*：a＋b＝1的充要條件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.

【回答】

*：先*必要*：

因為a＋b＝1，即b＝1－a，

所以a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0.

再*充分*：

因為a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，

即(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，

所以(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.

由ab≠0，即a≠0，且b≠0，

所以a2－ab＋b2≠0，只有a＋b＝1.

綜上可知，當ab≠0時，a＋b＝1的充要條件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.

知識點：常用邏輯用語

題型：解答題