問題詳情:
已知f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=±1處取得極值,且f(1)=-1.
(1)試求常數a,b,c的值;
(2)試判斷x=±1是函數的極大值點還是極小值點,並説明理由.
【回答】
[解] f′(x)=3ax2 +2bx+c,
(1)法一:∵x=±1是函數的極值點,
∴x=±1是方程3ax2+2bx+c=0的兩根.
由根與係數的關係知
又f(1)=-1,∴a+b+c=-1, ③
由①②③解得a=,b=0,c=-.
法二:由f′(1)=f′(-1)=0,得3a+2b+c=0, ①
3a-2b+c=0, ②
又f(1)=-1,∴a+b+c=-1, ③
由①②③解得a=,b=0,c=-.
(2)f(x)=x3-x,
∴f′(x)=x2-=(x-1)(x+1).
當x<-1或x>1時f′(x)>0,
當-1<x<1時,f′(x)<0.
∴函數f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上是增函數,
在(-1,1)上是減函數.
∴當x=-1時,函數取得極大值,x=-1為極大值點;當x=1時,函數取得極小值,x=1為極小值點.
知識點:導數及其應用
題型:解答題