設a，b，c為△ABC的三邊，求*：方程x2＋2ax＋b2＝0與x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要條件是∠A...

問題詳情：

設a，b，c為△ABC的三邊，求*：方程x2＋2ax＋b2＝0與x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要條件是∠A＝90°.

【回答】

*：必要*：設方程x2＋2ax＋b2＝0與x2＋2cx－b2＝0有公共根x0，則x02＋2ax0＋b2＝0，x02＋2cx0－b2＝0.

兩式相減，得x0＝，將此式代入x02＋2ax0＋b2＝0，

可得b2＋c2＝a2，故∠A＝90°.

充分*：∵∠A＝90°，

∴b2＝a2－c2.①

將①代入方程x2＋2ax＋b2＝0，

可得x2＋2ax＋a2－c2＝0，即(x＋a－c)(x＋a＋c)＝0.

將①代入方程x2＋2cx－b2＝0，

可得x2＋2cx＋c2－a2＝0，

即(x＋c－a)(x＋c＋a)＝0.

故兩方程有公共根x＝－(a＋c)．

∴方程x2＋2ax＋b2＝0與x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要條件是∠A＝90°.

知識點：常用邏輯用語

題型：解答題