已知函數f（x）=（x﹣1）|x﹣a|﹣x﹣2a（x∈R）．（1）若a=﹣1，求方程f（x）=1的解集；（2）...

問題詳情：

已知函數f（x）=（x﹣1）|x﹣a|﹣x﹣2a（x∈R）．

（1）若a=﹣1，求方程f（x）=1的解集；

（2）若，試判斷函數y=f（x）在R上的零點個數，並求此時y=f（x）所有零點之和的取值範圍．

【回答】

【解答】解：（1）方法一：

當a=﹣1時，（2 分）

由f（x）=1得或（2 分）

解得 x=0，1，﹣2，即解集為{0，1，﹣2}． （2分）

方法二：當a=﹣1時，由f（x）=1得：（x﹣1）|x+1|﹣（x﹣1）=0（x﹣1）（|x+1|﹣1）=0（3分）

∴得x=1或|x+1|=1∴x=1或x=0或x=﹣2

即解集為{0，1，﹣2}．  （3分）

（2）

當x≥a時，令x2﹣（a+2）x﹣a=0，∵，

∴△=a2+8a+4=（a+4）2﹣12＞0

得，（2分）

且

先判斷2﹣a，與大小：∵，即a＜x1＜x2，故當x≥a時，f（x）存在兩個零點．（2分）

當x＜a時，令﹣x2+ax﹣3a=0，即x2﹣ax+3a=0得∵，

∴△=a2﹣12a=（a﹣6）2﹣36＞0

得，

同上可判斷x3＜a＜x4，故x＜a時，f（x）存在一個零點．（2分）

綜上可知當時，f（x）存在三個不同零點．

且

設，易知g（a）在上單調遞增，

故g（a）∈（0，2）∴x1+x2+x3∈（0，2）．

知識點：*與函數的概念

題型：解答題