問題詳情:
已知函數f(x)=lnx﹣,a∈R.
(1)若x=2是函數f(x)的極值點,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;
(2)若函數f(x)在(0,+∞)上為單調增函數,求a的取值範圍.
【回答】
【考點】6B:利用導數研究函數的單調*;6H:利用導數研究曲線上某點切線方程.
【分析】(1)求導數f′(x),由x=2為極值點得f′(2)=0,可求a,切線斜率,切點為(1,0),由點斜式可求切線方程;
(2)由f(x)在(0,+∞)上為單調增函數,知f'(x)≥0在(0,+∞)上恆成立,分離出參數a後,轉化為求函數的最值,利用基本不等式可求最值;
【解答】解:(1)=.
由題意知f′(2)=0,代入得,經檢驗,符合題意.
從而切線斜率,切點為(1,0),
∴切線方程為x+8y﹣1=0;
(2).
∵f(x)在(0,+∞)上為單調增函數,∴f'(x)≥0在(0,+∞)上恆成立,
∴2a﹣2≤2.∴a≤2.
∴a的取值範圍是(﹣∞,2].
知識點:導數及其應用
題型:解答題