已知函數f（x）=2lnx﹣3x2﹣11x．（1）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；（2）若...

問題詳情：

已知函數f（x）=2lnx﹣3x2﹣11x．

（1）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；

（2）若關於x的不等式f（x）≤（a﹣3）x2+（2a﹣13）x+1恆成立，求整數a的最小值．

【回答】

解：（1）∵f′（x）=，f′（1）=﹣15，f（1）=﹣14，

∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為：y﹣14=﹣15（x﹣1），即y=﹣15x+1；

（2）令g（x）=f（x）﹣（a﹣3）x2﹣（2a﹣13）x﹣1=2lnx﹣ax2+（2﹣2a）x﹣1，

∴g′（x）=．

當a≤0時，∵x＞0，∴g′（x）＞0，則g（x）是（0，+∞）上的遞增函數．

又g（1）=﹣a+2﹣2a﹣1=1﹣3a＞0，∴不等式f（x）≤（a﹣3）x2+（2a﹣13）x+1不恆成立；

當a＞0時，g′（x）=．

令g′（x）=0，得x=，∴當x∈（0，）時，g′（x）＞0；當x∈（，+∞）時，g′（x）＜0．

因此，g（x）在（0，）上是增函數，在（，+∞）上是減函數．

故函數g（x）的最大值為g（）=≤0．

令h（a）=．   則h（a）在（0，+∞）上是減函數，

∵h（1）=﹣2＜0，  ∴當a≥1時，h（a）＜0，∴整數a的最小值為1．

知識點：基本初等函數I

題型：解答題