問題詳情:
已知函數f(x)=x2+ax﹣2lnx(a∈R).
(1)若a=1,求函數f(x)的單調區間和極值;
(2)若函數f(x)在區間(0,2]上單調遞減,求實數a的取值範圍.
【回答】
【考點】6D:利用導數研究函數的極值;6B:利用導數研究函數的單調*.
【分析】(1)求出函數的導數,解關於導函數的不等式,求出函數的單調區間和極值即可;
(2)問題轉化為在區間(0,2]上恆成立,設,根據函數的單調*求出a的範圍即可.
【解答】解:(1).
當a=1時,,定義域為(0,+∞).
其導函數為
令f'(x)>0可得:x>1;
令f'(x)<0可得:0<x<1.
故函數f(x)的單調遞增區間為(1,+∞),單調遞減區間為(0,1),
f(x)的極小值為,無極大值.
(2)f(x)的導函數為,
由函數f(x)在區間(0,2]上為減函數可得:
f'(x)≤0即x2+ax﹣2≤0在區間(0,2]上恆成立,
即在區間(0,2]上恆成立,
設,可知y=g(x)在(0,2]上單調遞減,
所以a≤gmin(x)=g(2)=﹣1.
故所求實數a的取值範圍為(﹣∞,﹣1].
知識點:導數及其應用
題型:解答題