問題詳情:
已知函數(a∈R).
(1)若曲線y=f(x)在x=e處切線的斜率為﹣1,求此切線方程;
(2)若f(x)有兩個極值點x1,x2,求a的取值範圍,並*:x1x2>x1+x2.
【回答】
(1)∵f'(x)=lnx﹣ax,∴f'(e)=1﹣ae=﹣1,解得,
∴f(e)=﹣e,故切點為(e,﹣e),所以曲線y=f(x)在x=e處的切線方程為x+y=0.
(2)*:f'(x)=lnx﹣ax,令f'(x)=0,得.令,
則,且當0<x<1時,g(x)<0;當x=1時,g(x)=0;x>1時,g(x)>0.令g'(x)=0,得x=e,且當0<x<e時,g'(x)>0;當x>e時,g'(x)<0.
故g(x)在(0,e)遞增,在(e,+∞)遞減,所以.
所以當a<0時,f(x)有一個極值點;時,f(x)有兩個極值點;
當時,f(x)沒有極值點.綜上,a的取值範圍是.
因為x1,x2是f(x)的兩個極值點,所以即…①
不妨設x1<x2,則1<x1<e,x2>e,
因為g(x)在(e,+∞)遞減,且x1+x2>x2,所以,即…②.由①可得lnx1+lnx2=a(x1+x2),即,
由①,②得,所以
【點睛】本題考查了函數的單調*問題,考查導數的應用以及不等式的*,考查轉化思想,屬難題..
知識點:導數及其應用
題型:解答題