設二次函數f(x)＝ax2＋bx.(1)若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值範圍；(2)...

問題詳情：

設二次函數f(x)＝ax2＋bx.

(1)若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值範圍；

(2)當b＝1時，若對任意x∈[0,1]，－1≤f(x)≤1恆成立，求實數a的取值範圍．

【回答】

解 (1)方法一　⇒

∵f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)，且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤f(－2)≤10.

方法二　設f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)，

即4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)＝(m＋n)a－(m－n)b，比較兩邊係數：⇒

∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)，

下同方法一．

(2)當x∈[0,1]時，－1≤f(x)≤1，即－1≤ax2＋x≤1，

即當x∈[0,1]時，ax2＋x＋1≥0且ax2＋x－1≤0恆成立；

當x＝0時，顯然，ax2＋x＋1≥0且ax2＋x－1≤0均成立；

當x∈(0,1]時，若ax2＋x＋1≥0恆成立，則a≥－－＝－(＋)2＋，

而－(＋)2＋在x∈(0,1]上的最大值為－2，∴a≥－2；

當x∈(0,1]時，ax2＋x－1≤0恆成立，則a≤－＝(－)2－，

而(－)2－在x∈(0,1]上的最小值為0，∴a≤0，

∴－2≤a≤0，而a≠0，因此所求a的取值範圍為[－2,0)．

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題