已知二次函數f(x)的最小值為－4，且關於x的不等式f(x)≤0的解集為{x|－1≤x≤3，x∈R}．(1)求...

問題詳情：

已知二次函數f(x)的最小值為－4，且關於x的不等式f(x)≤0的解集為{x|－1≤x≤3，x∈R}．

(1)求函數f(x)的解析式；

(2)求函數g(x)＝－4ln x的零點個數．

【回答】

）解：(1)因為f(x)是二次函數，且關於x的不等式f(x)≤0的解集為{x|－1≤x≤3，x∈R}，所以f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且a>0.所以f(x)min＝f(1)＝－4a＝－4，a＝1.故函數f(x)的解析式為f(x)＝x2－2x－3.(2)因為g(x)＝－4ln x＝x－－4ln x－2(x>0)，

所以g′(x)＝1＋－＝.令g′(x)＝0，得x1＝1，x2＝3.

當x變化時，g′(x)，g(x)的取值變化情況如下：

當0<x≤3時，g(x)≤g(1)＝－4<0.又因為g(x)在(3，＋∞)上遞增，因而g(x)在(3，＋∞)上只有1個零點．故g(x)在(0，＋∞)上只有1個零點．

知識點：函數的應用

題型：解答題