問題詳情:
如圖所示,在水平 O-xy 座標平面的第 1 象限上,有一個內外半徑幾乎同為 R、圓心位於 x=R、y=0 處的半圓形固定細管道,座標平面上有電場強度為E,沿着 y 軸方向的勻強電場。帶電質點 P 在管道內,從 x=0、y=0 位置出發,在管道內無摩擦地運動,其初始動能為 Eko。P 運動到 x=R、y=R 位置時,其動能減少了二分之一。
(1)試問 P 所帶電荷是正的,還是負的?為什麼?
(2)P 所到位置可用該位置的 x 座標來標定,試在 2R≥x≥0 範圍內導出 P 的動能 Ek隨 x 變化的函數。
(3)P 在運動過程中受管道的*力 N 也許是徑向朝裏的(即指向圓心的),也許是徑向朝外的 (即背離圓心的)。通過定量討論,判定在 2R≥x≥0 範圍內是否存在 N 徑向朝裏的 x 取值區域,若存在,請給出該區域;繼而判定在 2R≥x≥0 範圍內是否存在 N 徑向朝外的 x 取值區域,若存在,請給出該區域。
【回答】
解析:(1)帶電質點 P在管道內無摩擦地運動,設電場力做功W=qER,由動能定理,
W-mgR=- Eko。
解得W= mgR-Eko。
若mgR>Eko,W>0,電場力做正功,P 所帶電荷是正的。
若mgR<Eko,W<0,電場力做負功,P 所帶電荷是負的。
(2)設P運動到橫座標為x,縱座標為y,由(x-R)2+y2=R2,可得y=。
由動能定理,(qE-mg) y=Ek-- Eko。
解得:Ek= Eko+(qE-mg)。
(3)若P 所帶電荷是正的,根據題述P 運動到 x=R、y=R 位置時,其動能減少了二分之一,可知P所受電場力一定小於重力,
設質點P從開始到運動到縱座標為y這個範圍內所受管道的*力 N徑向朝裏,恰好運動到縱座標為y時所受管道的*力 N為零,則有,
(mg-qE)cosθ=mv2/R,
cosθ=y/R
-(mg-qE)y=mv2- Eko。
聯立解得:y=
代入(x-R)2+y2=R2,
可得x=R--,x=R+。
在x<R--和x>R+區域範圍內存在 N 徑向朝裏。
在R--<x<R+區域範圍內存在 N 徑向朝外。
【點評】此題需要通過分析,得出定量關係,討論得出相關區域範圍,難度較大。由於題目已知量都為字母,運算時要認真細緻,確保正確。
知識點:靜電場及其應用單元測試
題型:綜合題