如圖,在平面直角座標系中,正方形ABCD的頂點A、B、C、D的座標分別為(3,0)、(0,3)、(－3,0)、...

問題詳情：

如圖,在平面直角座標系中,正方形ABCD的頂點A、B、C、D的座標分別為(3,0)、(0,3)、(－3,0)、(0,－3),點M為AB上一點,AM:BM=2:1,∠EMF在AB的下方以M為中心旋轉且∠EMF=45°,ME交y軸於點P,MF交x軸於點Q. (Ⅰ)求點M的座標; (Ⅱ)設AQ的長為y,BP的長為x.求y與x的函數關係式; (Ⅲ)當P為OB的中點時,求四邊形OQMP的面積.

【回答】

解:(Ⅰ)∵正方形ABCD的頂點A、B、C、D的座標分別為(3,0)、(0,3)、(－3,0)、(0,－3), ∴OA=OB=OC=OD=3,在Rt△AOB中由勾股定理,得 AB=3. ∵AM:BM=2:1, ∴AM=2, ∴BM=, 作MG⊥AC於點G, ∴MG∥BD, ∴△AMG∽△ABO, ∴, ∴, ∴MG=2, ∴AG=2, ∴OG=1, ∴M(1,2); (Ⅱ)∵四邊形ABCD是正方形,且AC、BD是對角線, ∴∠1=∠5=45°, ∴∠3＋∠4=135°, ∵∠EMF=45°, ∴∠2＋∠4=135°, ∴∠2=∠3,有∠1=∠5, ∴△BMP∽△AQM,∴, ∴,解得:y=; (Ⅲ)∵P為OB的中點, ∴BP=OB=,∴y=AQ==. 作MH⊥BD於H,MS⊥AC於S, 由勾股定理可以求得:MH=1,MS=2, ∴S四邊形OQMP=.

圖①          圖②          圖③                    

知識點：相似三角形

題型：解答題