在平面直角座標系中，拋物線y=ax2+bx+3與x軸的兩個交點分別為A（﹣3，0）、B（1，0），過頂點C作C...

問題詳情：

在平面直角座標系中，拋物線y=ax2+bx+3與x軸的兩個交點分別為A（﹣3，0）、B（1，0），過頂點C作CH⊥x軸於點H．

（1）直接填寫：a=　   　，b=　   　，頂點C的座標為　   　；

（2）在y軸上是否存在點D，使得△ACD是以AC為斜邊的直角三角形？若存在，求出點D的座標；若不存在，説明理由；

（3）若點P為x軸上方的拋物線上一動點（點P與頂點C不重合），PQ⊥AC於點Q，當△PCQ與△ACH相似時，求點P的座標．

【回答】

【解答】解：（1）a=﹣1，b=﹣2，頂點C的座標為（﹣1，4）；

（2）假設在y軸上存在滿足條件的點D，過點C作CE⊥y軸於點E．

由∠CDA=90°得，∠1+∠2=90°．又∠2+∠3=90°，

∴∠3=∠1．又∵∠CED=∠DOA=90°，

∴△CED∽△DOA，∴．

設D（0，c），則．變形得c2﹣4c+3=0，解之得c1=3，c2=1．

綜合上述：在y軸上存在點D（0，3）或（0，1），

使△ACD是以AC為斜邊的直角三角形．

（3）①若點P在對稱軸右側（如圖①），只能是△PCQ∽△CAH，得∠QCP=∠CAH．

延長CP交x軸於M，∴AM=CM，∴AM2=CM2．

設M（m，0），則（m+3）2=42+（m+1）2，∴m=2，即M（2，0）．

設直線CM的解析式為y=k1x+b1，

則，解之得，．

∴直線CM的解析式．

聯立，解之得或（捨去）．

∴．

②若點P在對稱軸左側（如圖②），只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH．

過A作CA的垂線交PC於點F，作FN⊥x軸於點N．

由△CFA∽△CAH得，

由△FNA∽△AHC得．

∴AN=2，FN=1，CH=4，HO=1，則AH=2，

∴點F座標為（﹣5，1）．

設直線CF的解析式為y=k2x+b2，則，

解之得．

∴直線CF的解析式．

聯立，解之得或（捨去）．

∴．

∴滿足條件的點P座標為或．

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：解答題