設為多面體的一個頂點，定義多面體在點處的離散曲率為，其中（，）為多面體的所有與點相鄰的頂點，且平面,平面,,平...

問題詳情：

設為多面體的一個頂點，定義多面體在點處的離散曲率為，其中（，）為多面體的所有與點相鄰的頂點，且平面,平面,,平面和平面遍歷多面體的所有以為公共點的面.

（Ⅰ）任取正四面體的一個頂點，該點處的離散曲率為______；  

（Ⅱ）如圖所示，已知長方體，，，點為底面內的一個動點，則四稜錐在點處的離散曲率的最小值為______；

（Ⅲ）圖中為對某個女孩面部識別過程中的三角剖分結果，所謂三角剖分，就是先在面部取若干採樣點，後用短小的直線段連接相鄰三個採樣點形成三角形網格.區域和區域中點的離散曲率的平均值更大的_______.（填寫“區域”或“區域”）

【回答】

【詳解】（Ⅰ）由題意，可知正四面體的所有面都是正三角形，所以取正四面體的一個頂點，該點處的離散曲率為；

（Ⅱ）已知長方體，點為底面內的一個動點，則四稜錐在點處的離散曲率為,

又由，，所以,且為正方形，

當時，即點P為正方形的中心時，曲率取得最大值，此時，

即.

（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）可得，根據女孩面部識別過程中的三角剖分結果，可得區域的曲率的平均值更大一些.

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題