如圖，在四稜椎中，是稜上一點，且，底面是邊長為2的正方形，為正三角形，且平面平面，平面與稜交於點.(1)求*...

問題詳情：

 如圖，在四稜椎中，是稜上一點，且，底面是邊長為2的正方形，為正三角形，且平面平面，平面與稜交於點.

(1)求*：平面平面；

(2)求二面角的餘弦值.

【回答】

 (1)見解析(2)

【解析】試題分析：(1)在正方形中，，由面面垂直的*質定理可得，∴平面，又平面，∴，進而*得，又平面，，

∴平面，∵平面，∴平面平面.

(2)取中點，以為座標原點建立如圖所示的空間直角座標系，求出相關點的座標，進而得到平面的一個法向量，平面的一個法向量.由空間的夾角公式可求兩個向量的的夾角，又由題意可得二面角為鈍角，即可得到二面角的餘弦值.

試題解析：

(1)在正方形中，，又平面平面，且平面平面，

∴平面，又平面，∴，∵底面是正方形，∴，

又平面，平面，∴平面.

又四點共面，且平面平面，∴，∴，

又，∴為稜的中點，是稜中點，

∵是正三角形，∴，又平面，，

∴平面，∵平面，∴平面平面.

(2)取中點，以為座標原點建立如圖所示的空間直角座標系，則

，，，，，，，.

設平面的法向量為，則，∴，，，解得，，令，則為平面的一個法向量，設平面的法向量為，則，，

∴，，得，，令，則為平面的一個法向量.

∴，由圖知二面角為鈍角，

∴二面角的餘弦值為.

知識點：平面向量

題型：解答題