問題詳情:
如圖,在多面體中,和交於一點,除以外的其餘各稜長均為2.
作平面與平面的交線,並寫出作法及理由;
求*:平面平面;
若多面體的體積為2,求直線與平面所成角的正弦值.
【回答】
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【解析】
【分析】
由題意可得平面,由線面平行的*質作出交線即可.
取的中點,連結,.由條件可*得平面,故.
又.平面.從而平面平面.
利用等體積法求得三稜錐的高,通過建立空間座標系,利用空間向量法求線面角.
【詳解】過點作(或)的平行線,即為所求直線.
和交於一點,四點共面.又四邊形邊長均相等.
四邊形為菱形,從而.
又平面,且平面,平面.
平面,且平面平面,.
取的中點,連結,.,,,.
又,平面,平面,故.
又四邊形為菱形,.
又,平面.
又平面,平面平面.
由,即.
設三稜錐的高為,則,解得.
又,平面.
建立如圖的空間直角座標系,則,,,.
,.
由得,平面的一個法向量為.
又,於是.
故直線與平面所成角的正弦值為.
【點睛】本題考查*線面平行的方法,求二面角的大小,找出二面角的平面角是解題的關鍵和難點.
知識點:點 直線 平面之間的位置
題型:解答題