已知圓M：x2＋(y－4)2＝1，直線l：2x－y＝0，點P在直線l上，過點P作圓M的切線PA，PB，切點分別...

問題詳情：

已知圓M：x2＋(y－4)2＝1，直線l：2x－y＝0，點P在直線l上，過點P作圓M的切線PA，PB，切點分別為A，B.

(1)若∠APB＝60°，求P點的座標；

(2)若點P的座標為(1，2)，過點P作一條直線與圓M交於C，D兩點，當|CD|＝時，求直線CD的方程；

(3)求*：經過A，P，M三點的圓與圓M的公共弦必過定點，並求出此定點的座標．

【回答】

解：(1)由條件可知|PM|＝2，設P點座標為(a，2a)，則|PM|＝＝2，解得a＝2或a＝，所以P(2，4)或P（，）.

(2)由條件可知圓心到直線CD的距離d＝＝，設直線CD的方程為y－2＝k(x－1)，則由點到直線的距離公式得＝，解得k＝－7或k＝－1，

所以直線CD的方程為x＋y－3＝0或7x＋y－9＝0.

(3)*：設P(a，2a)，過A，P，M三點的圓即以PM為直徑的圓，其方程為x(x－a)＋(y－4)(y－2a)＝0，整理得x2＋y2－ax－4y－2ay＋8a＝0，與x2＋(y－4)2－1＝0相減得公共弦的方程為(4－2a)y－ax＋8a－15＝0，即(－x－2y＋8)a＋4y－15＝0，

令解得所以兩圓的公共弦過定點.

知識點：圓與方程

題型：解答題