如圖，已知直線y＝－2x＋4分別交x軸、y軸於點A，B，拋物線經過A，B兩點，點P是線段AB上一動點，過點P作...

問題詳情：

如圖，已知直線y＝－2x＋4分別交x軸、y軸於點A，B，拋物線經過A，B兩點，點P是線段AB上一動點，過點P作PC⊥x軸於點C，交拋物線於點D.

(1)若拋物線的表達式為y＝－2x2＋2x＋4，設其頂點為M，其對稱軸交AB於點N.

①求點M，N的座標；

②是否存在點P，使四邊形MNPD為菱形？並説明理由；

(2)當點P的橫座標為1時，是否存在這樣的拋物線，使得以B，P，D為頂點的三角形與△AOB相似？若存在，求出滿足條件的拋物線的表達式；若不存在，請説明理由．

【回答】

．解：(1)①如圖，

∵y＝－2x2＋2x＋4＝－2(x－)2＋，

∴頂點M的座標為(，)．

當x＝時，y＝－2×＋4＝3，

則點N的座標為(，3)．

②不存在．理由如下：

MN＝－3＝.

假設存在點P，設P點座標為(m，－2m＋4)，則D(m，－2m2＋2m＋4)，

∴PD＝－2m2＋2m＋4－(－2m＋4)＝－2m2＋4m.

∵PD∥MN，

∴當PD＝MN時，四邊形MNPD為平行四邊形，

即－2m2＋4m＝，解得m1＝(捨去)，m2＝，

此時P點座標為(，1)．

∵PN＝＝，

∴PN≠MN，

∴平行四邊形MNPD不為菱形，

∴不存在點P，使四邊形MNPD為菱形．

(2)存在．

如圖，

OB＝4，OA＝2，則AB＝＝2.

當x＝1時，y＝－2x＋4＝2，

則P(1，2)，

∴PB＝＝.

設拋物線的表達式為y＝ax2＋bx＋4，

把A(2，0)代入得4a＋2b＋4＝0，解得b＝－2a－2，

∴拋物線的表達式為y＝ax2－2(a＋1)x＋4.

當x＝1時，y＝ax2－2(a＋1)x＋4＝a－2a－2＋4＝2－a，

則D(1，2－a)，

∴PD＝2－a－2＝－a.

∵DC∥OB，

∴∠DPB＝∠OBA，

∴當＝時，△PDB∽△BOA，即＝，

解得a＝－2，

此時拋物線的表達式為y＝－2x2＋2x＋4.

當＝時，△PDB∽△BAO，即＝，

解得a＝－，

此時拋物線的表達式為y＝－x2＋3x＋4.

綜上所述，滿足條件的拋物線的表達式為y＝－2x2＋2x＋4或y＝－x2＋3x＋4.

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：綜合題