費馬點是指三角形內到三角形三個頂點距離之和最小的點，當三角形三個內角均小於120°時，費馬點與三個頂點連線正好...

問題詳情：

費馬點是指三角形內到三角形三個頂點距離之和最小的點，當三角形三個內角均小於120°時，費馬點與三個頂點連線正好三等分費馬點所在的周角，即該點所對的三角形三邊的張角相等均為120°，根據以上*質，已知，P為內一點，記，則的最小值為_________，此時_________.

【回答】

【分析】

第一空可由費馬點所對的三角形三邊的張角相等均為120°，求出費馬點，再根據

費馬點與三角形三個頂點距離之和最小的點求出；第二空可直接由正弦定理求得.

【詳解】

設為座標原點，由，知，

且為鋭角三角形，因此，費馬點F在線段上，設，

則為頂角是120°的等腰三角形，故，

所以；

在中，由正弦定理，得，即，

解得，即此時.

故*為：；

【點睛】

本題考查數學史、正餘弦定理的應用，對題目中給出的費馬點的理解和應用是解決本題的關鍵.

知識點：數系的擴充與複數的引入

題型：填空題