如圖，在△ABC中，AD為邊BC上的中線，且AD平分∠BAC．嘉淇同學先是以A為圓心，任意長為半徑畫弧，交AD...

問題詳情：

如圖，在△ABC中，AD為邊BC上的中線，且AD平分∠BAC．嘉淇同學先是以A為圓心，任意長為半徑畫弧，交AD於點P，交AC於點Q，然後以點C為圓心，AP長為半徑畫弧，交AC於點M，再以M為圓心，PQ長為半徑畫弧，交前弧於點N，作*線CN，交BA的延長線於點E．

（1）通過嘉淇的作圖方法判斷AD與CE的位置關係是　  ，數量關係是　   ；

（2）求*：AB＝AC；

（3）若BC＝24，CE＝10，求△ABC的內心到BC的距離．

【回答】

（1）AD∥CE，EC＝2AD；（2）見解析；（3）r＝．

【解析】

（1）由作圖方法可知∠DAC＝∠ACE，則AD∥CE，根據BC＝2BD，可*CE＝2AD；

（2）由（1）知△ABD∽△EBC，*出BE＝2AB，得AB＝AE，又AC＝AE，則AB＝AC；

（3）設△ABC內心到BC距離為r，可得，即可求出r．

【詳解】

（1）∵嘉淇的作圖方法可知∠DAC＝∠ACE，

∴AD∥CE，

∴△ABD∽△EBC，

∴，

∵AD為邊BC上的中線，

∴BC＝2BD，

∴CE＝2AD，

故*為AD∥CE，EC＝2AD；

（2）*：∵AD∥CE，

∴∠BAD＝∠E，∠DAC＝∠ACE，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠DAC，

∴∠ACE＝∠E，

∴AC＝AE，

由（1）知△ABD∽△EBC，

∴，

∴EB＝2AB，即AB＝AE，

∴AB＝AC．

 （3）解：∵BC＝24，CE＝10，

∴BD＝12，AD＝5，

∵AB＝AC，BD＝CD，

∴AD⊥BD，

設△ABC內心到BC距離為r，

∴，

∴，

∴60﹣12r＝13r

∴25r＝60，

∴r＝．

【點睛】

本題是圓的綜合題目，考查了內心的定義、等腰三角形的*質、相似三角形的判定與*質、勾股定理等知識．

知識點：相似三角形

題型：解答題