如圖，等邊三角形ABC的邊長為4，點O是△ABC的中心，∠FOG＝120°，繞點O旋轉∠FOG，分別交線段AB...

問題詳情：

如圖，等邊三角形ABC的邊長為4，點O是△ABC的中心，∠FOG＝120°，繞點O旋轉∠FOG，分別交線段AB、BC於D、E兩點，連接DE，給出下列四個結論：①OD＝OE；②S△ODE＝S△BDE；③四邊形ODBE的面積始終等於；④△BDE周長的最小值為6．上述結論中正確的個數是（　　）

A．1               B．2                C．3               D．4

【回答】

C

【分析】連接OB、OC，如圖，利用等邊三角形的*質得∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝30°，再*∠BOD＝∠COE，於是可判斷△BOD≌△COE，所以BD＝CE，OD＝OE，則可對①進行判斷；利用S△BOD＝S△COE得到四邊形ODBE的面積＝S△ABC＝，則可對③進行判斷；作OH⊥DE，如圖，則DH＝EH，計算出S△ODE＝OE2，利用S△ODE隨OE的變化而變化和四邊形ODBE的面積為定值可對②進行判斷；由於△BDE的周長＝BC+DE＝4+DE＝4+OE，根據垂線段最短，當OE⊥BC時，OE最小，△BDE的周長最小，計算出此時OE的長則可對④進行判斷．

解：連接OB、OC，如圖，

∵△ABC為等邊三角形，

∴∠ABC＝∠ACB＝60°，

∵點O是△ABC的中心，

∴OB＝OC，OB、OC分別平分∠ABC和∠ACB，

∴∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝30°

∴∠BOC＝120°，即∠BOE+∠COE＝120°，

而∠DOE＝120°，即∠BOE+∠BOD＝120°，

∴∠BOD＝∠COE，

在△BOD和△COE中

，

∴△BOD≌△COE，

∴BD＝CE，OD＝OE，所以①正確；

∴S△BOD＝S△COE，

∴四邊形ODBE的面積＝S△OBC＝S△ABC＝××42＝，所以③正確；

作OH⊥DE，如圖，則DH＝EH，

∵∠DOE＝120°，

∴∠ODE＝∠OEH＝30°，

∴OH＝OE，HE＝OH＝OE，

∴DE＝OE，

∴S△ODE＝•OE•OE＝OE2，

即S△ODE隨OE的變化而變化，

而四邊形ODBE的面積為定值，

∴S△ODE≠S△BDE；所以②錯誤；

∵BD＝CE，

∴△BDE的周長＝BD+BE+DE＝CE+BE+DE＝BC+DE＝4+DE＝4+OE，

當OE⊥BC時，OE最小，△BDE的周長最小，此時OE＝，

∴△BDE周長的最小值＝4+2＝6，所以④正確．

故選：C．

知識點：圖形的旋轉

題型：選擇題