如圖，在正方形ABCD中，邊長為4，∠MDN＝90°，將∠MDN繞點D旋轉，其中DM邊分別與*線BA、直線AC...

問題詳情：

如圖，在正方形ABCD中，邊長為4，∠MDN＝90°，將∠MDN繞點D旋轉，其中DM邊分別與*線BA、直線AC交於E、Q兩點，DN邊與*線BC交於點F；連接EF，且EF與直線AC交於點P．

（1）如圖1，點E在線段AB上時，①求*：AE＝CF；②求*：DP垂直平分EF；

（2）當AE＝1時，求PQ的長．

【回答】

【分析】（1）①只要*△ADE≌△CDE（ASA）即可解決問題；

②利用相似三角形的*質*∠PDQ＝45°即可解決問題；

（2）①當點E在線段AB上時，作QH⊥AD於H，QG⊥AB於G．由△AQD∽△EQP，可知AQ•PQ＝DQ•EQ，想辦法求出AQ，EQ，DQ即可解決問題；②當點E在BA的延長線上時，作QH⊥AD於H，QG⊥AB於G，方法類似．

【解答】（1）①*：∵四邊形ABCD是正方形，

∴DA＝DC，∠ADC＝∠DAE＝∠DCF＝90°，

∴∠ADC＝∠MDN＝90°，

∴∠ADE＝∠CDF，

∴△ADE≌△CDE（ASA），

∴AE＝CF．

②∵△ADE≌△CDE（ASA），

∴DE＝DF，∵∠MDN＝90°，

∴∠DEF＝45°，

∵∠DAC＝45°，

∴∠DAQ＝∠PEQ，∵∠AQD＝∠EQP，

∴△AQD∽△EQP，

∴＝，

∴＝，∵∠AQE＝∠PQD，

∴△AQE∽△DQP，

∴∠QDP＝∠QAE＝45°，

∴∠DPE＝90°，

∴DP⊥EF，∵DE＝DF，

∴PE＝PF，

∴DP垂直平分線段EF．

（2）解：①當點E在線段AB上時，作QH⊥AD於H，QG⊥AB於G．

在Rt△ADE中，DE＝＝，

∵∠QAH＝∠QAG＝45°，

∴HO＝QE＝AH＝EQ，設QH＝x，

∵×4×x+×1×x＝×1×4，

∵x＝，

∴AQ＝，DQ＝＝，EQ＝，

∵△AQD∽△EQP，

∴AQ•PQ＝DQ•EQ，

∴PQ＝＝．

②當點E在BA的延長線上時，作QH⊥AD於H，QG⊥AB於G．

在Rt△ADE中，DE＝＝，

∵∠QAH＝∠QAG＝45°，

∴HO＝QE＝AH＝EQ，設QH＝x，

∵×4×x﹣×1×x＝×1×4，

∵x＝，

∴AQ＝，DQ＝＝，EQ＝，

∵△AQD∽△EQP，

∴AQ•PQ＝DQ•EQ，

∴PQ＝＝．

綜上所述，PQ的長為或．

【點評】本題考查正方形的*質，全等三角形的判定和*質，相似三角形的判定和*質，勾股定理等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形和相似三角形解決問題，屬於中考常考題型．

知識點：相似三角形

題型：解答題