如圖，點O是邊長為4的等邊△ABC的內心，將△OBC繞點O逆時針旋轉30°得到△OB1C1，B1C1交BC於點...

問題詳情：

如圖，點O是邊長為4的等邊△ABC的內心，將△OBC繞點O逆時針旋轉30°得到△OB1C1，B1C1交BC於點D，B1C1交AC於點E，則DE=　　            ．

【回答】

6﹣2．.分析： 令OB1與BC的交點為F，B1C1與AC的交點為M，過點F作FN⊥OB於點N，根據等邊三角形的*質以及內心的*質找出△FOB為等腰三角形，並且△BFO∽△B1FD，根據相似三角形的*質找出B1D的長度，再通過找全等三角形以及解直角三角形求出C1E的長度，由此即可得出DE的長度．

 解：令OB1與BC的交點為F，B1C1與AC的交點為M，過點F作FN⊥OB於點N，如圖所示．

∵將△OBC繞點O逆時針旋轉30°得到△OB1C1，

∴∠BOF=30°，

∵點O是邊長為4的等邊△ABC的內心，

∴∠OBF=30°，OB=AB=4，

∴△FOB為等腰三角形，BN=OB=2，

∴BF===OF．

∵∠OBF=∠OB1D，∠BFO=∠B1FD，

∴△BFO∽△B1FD，

∴．

∵B1F=OB1﹣OF=4﹣，

∴B1D=4﹣4．

在△BFO和△CMO中，有，

∴△BFO≌△CMO（ASA），

∴OM=BF=，C1M=4﹣，

在△C1ME中，∠C1ME=∠MOC+∠MCO=60°，∠C1=30°，

∴∠C1EM=90°，

∴C1E=C1M•sin∠C1ME=（4﹣）×=2﹣2．

∴DE=B1C1﹣B1D﹣C1E=4﹣（4﹣4）﹣（2﹣2）=6﹣2．

故*為：

知識點：相似三角形

題型：填空題