菱形ABCD中，兩條對角線AC，BD相交於點O，∠MON+∠BCD=180°，∠MON繞點O旋轉，*線OM交...

問題詳情：

 菱形ABCD中，兩條對角線AC，BD相交於點O，∠MON+∠BCD=180°，∠MON繞點O旋轉，*線OM交邊BC於點E，*線ON交邊DC於點F，連接EF．

（1）如圖1，當∠ABC=90°時，△OEF的形狀是　         　；

（2）如圖2，當∠ABC=60°時，請判斷△OEF的形狀，並説明理由；

（3）在（1）的條件下，將∠MON的頂點移到AO的中點O′處，∠MO′N繞點O′旋轉，仍滿足∠MO′N+∠BCD=180°，*線O′M交直線BC於點E，*線O′N交直線CD於點F，當BC=4，且=時，直接寫出線段CE的長．

【回答】

 （1）△OEF是等腰直角三角形；

*：如圖1，∵菱形ABCD中，∠ABC=90°，

∴四邊形ABCD是正方形，

∴OB=OC，∠BOC=90°，∠BCD=90°，∠EBO=∠FCO=45°，

∴∠BOE+∠COE=90°，

∵∠MON+∠BCD=180°，

∴∠MON=90°，

∴∠COF+∠COE=90°，

∴∠BOE=∠COF，

在△BOE與△COF中，

，

∴△BOE≌△COF（ASA），

∴OE=OF，

∴△OEF是等腰直角三角形；

故*為等腰直角三角形；

（2）△OEF是等邊三角形；

*：如圖2，過O點作OG⊥BC於G，作OH⊥CD於H，

∴∠OGE=∠OGC=∠OHC=90°，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴CA平分∠BCD，∠ABC+BCD=180°，

∴OG=OH，∠BCD=180°﹣60°=120°，

∵∠GOH+∠OGC+∠BCD+∠OHC=360°，

∴∠GOH+∠BCD=180°，

∴∠MON+∠BCD=180°，

∴∠GOH=∠EOF=60°，

∵∠GOH=∠GOF+∠FOH，∠EOF=∠GOF+∠EOG，

∴∠EOG=∠FOH，

在△EOG與△FOH中，

，

∴△EOG≌△FOH（ASA），

∴OE=OF，

∴△OEF是等邊三角形；

（3）*：如圖3，∵菱形ABCD中，∠ABC=90°，

∴四邊形ABCD是正方形，

∴=，

過O點作O′G⊥BC於G，作O′H⊥CD於H，

∴∠O′GC=∠O′HC=∠BCD=90°，

∴四邊形O′GCH是矩形，

∴O′G∥AB，O′H∥AD，

∴===，

∵AB=BC=CD=AD=4，

∴O′G=O′H=3，

∴四邊形O′GCH是正方形，

∴GC=O′G=3，∠GO′H=90°

∵∠MO′N+∠BCD=180°，

∴∠EO′F=90°，

∴∠EO′F=∠GO′H=90°，

∵∠GO′H=∠GO′F+∠FO′H，∠EO′F=∠GO′F+∠EO′G，

∴∠EO′G=∠FO′H，

在△EO′G與△FO′H中，

，

∴△EO′G≌△FO′H（ASA），

∴O′E=O′F，

∴△O′EF是等腰直角三角形；

∵S正方形ABCD=4×4=16，=，

∴S△O′EF=18，

∵S△O′EF=O′E2，

∴O′E=6，

在RT△O′EG中，EG===3，

∴CE=CG+EG=3+3．

根據對稱*可知，當∠M′ON′旋轉到如圖所示位置時，

CE′=E′G﹣CG=3﹣3．

綜上可得，線段CE的長為3+3或3﹣3．

知識點：各地中考

題型：綜合題