問題詳情:
如圖所示拋物線過點,點,且
(1)求拋物線的解析式及其對稱軸;
(2)點在直線上的兩個動點,且,點在點的上方,求四邊形的周長的最小值;
(3)點為拋物線上一點,連接,直線把四邊形的面積分為3∶5兩部分,求點的座標.
【回答】
(1),對稱軸為直線;(2)四邊形的周長最小值為;(3)
【分析】
(1)OB=OC,則點B(3,0),則拋物線的表達式為:y=a(x+1)(x-3)=a(x2-2x-3)=ax2-2ax-3a,即可求解;
(2)CD+AE=A′D+DC′,則當A′、D、C′三點共線時,CD+AE=A′D+DC′最小,周長也最小,即可求解;
(3)S△PCB:S△PCA=EB×(yC-yP):AE×(yC-yP)=BE:AE,即可求解.
【詳解】
(1)∵OB=OC,∴點B(3,0),
則拋物線的表達式為:y=a(x+1)(x-3)=a(x2-2x-3)=ax2-2ax-3a,
故-3a=3,解得:a=-1,
故拋物線的表達式為:y=-x2+2x+3…①;
對稱軸為:直線
(2)ACDE的周長=AC+DE+CD+AE,其中AC=、DE=1是常數,
故CD+AE最小時,周長最小,
取點C關於函數對稱點C(2,3),則CD=C′D,
取點A′(-1,1),則A′D=AE,
故:CD+AE=A′D+DC′,則當A′、D、C′三點共線時,CD+AE=A′D+DC′最小,周長也最小,
四邊形ACDE的周長的最小值=AC+DE+CD+AE=+1+A′D+DC′=+1+A′C′=+1+;
(3)如圖,設直線CP交x軸於點E,
直線CP把四邊形CBPA的面積分為3:5兩部分,
又∵S△PCB:S△PCA=EB×(yC-yP):AE×(yC-yP)=BE:AE,
則BE:AE,=3:5或5:3,
則AE=或,
即:點E的座標為(,0)或(,0),
將點E、C的座標代入一次函數表達式:y=kx+3,
解得:k=-6或-2,
故直線CP的表達式為:y=-2x+3或y=-6x+3…②
聯立①②並解得:x=4或8(不合題意值已捨去),
故點P的座標為(4,-5)或(8,-45).
【點睛】
本題考查的是二次函數綜合運用,涉及到一次函數、圖象面積計算、點的對稱*等,其中(1),通過確定點A′點來求最小值,是本題的難點.
知識點:二次函數的圖象和*質
題型:解答題