如圖，拋物線與軸交於，兩點． （1）若過點的直線是拋物線的對稱軸．①求拋物線的解析式；②對稱軸上是否存在一點，...

問題詳情：

如圖，拋物線與軸交於，兩點．

（1）若過點的直線是拋物線的對稱軸．

①求拋物線的解析式；

②對稱軸上是否存在一點，使點關於直線的對稱點恰好落在對稱軸上．若存在，請求出點的座標；若不存在，請説明理由．

（2）當，時，函數值的最大值滿足，求的取值範圍．

【回答】

（1）①；②存在，或；（2）．

【解析】

（1）①根據拋物線的對稱軸公式即可求出解析式；

②如圖1，若點P在x軸上方，點B關於OP對稱的點在對稱軸上，連接、PB，根據軸對稱得到，，求出點B的座標，勾股定理得到，再根據，列出方程解答，同理得到點P在x軸下方時的座標即可；

（2）當時，確定對稱軸的位置，再結合開口方向，確定當時，函數的增減*，從而得到當x=2時，函數取最大值，再列出不等式解答即可．

【詳解】

解：（1）①拋物線的對稱軸為直線，

∴若過點的直線是拋物線的對稱軸，

則，解得：b=4，

∴；

②存在，

如圖1，若點P在x軸上方，點B關於OP對稱的點在對稱軸上，連接、PB，

則，，

對於，令y=0，則，

解得：，

∴A（-1,0），B（5,0），

∴，

∴，

∴，

設點P（2，m），

由可得：，解得：，

∴，

同理，當點P在x軸下方時，，

綜上所述，點或

（2）∵拋物線的對稱軸為直線，

∴當時，，

∵拋物線開口向下，在對稱軸左邊，y隨x的增大而增大，

∴當時，取x=2，y有最大值，

即，

∴，解得：，

又∵，

∴．

【點睛】

本題考查了二次函數的綜合應用，涉及了二次函數的圖象與*質，以及勾股定理的應用，其中第（1）②問要先畫出圖形再理解，第（2）問運用到了二次函數的增減*，難度不大，解題的關鍵是熟記二次函數的圖象與*質．

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：解答題