設函數f(x)=x3-12x+b,則下列結論正確的是　(　　)A.函數f(x)在(-∞,-1)上單調遞增B.函...

問題詳情：

設函數f(x)=x3-12x+b,則下列結論正確的是　(　　)

A.函數f(x)在(-∞,-1)上單調遞增

B.函數f(x)在(-∞,-1)上單調遞減

C.若b=-6,則函數f(x)的圖象在點處的切線方程為y=10

D.若b=0,則函數f(x)的圖象與直線y=10只有一個公共點

【回答】

C.因為f(x)=x3-12x+b,

所以f′(x)=3x2-12,

令f′(x)>0,即3x2-12>0,

所以x<-2或x>2,

所以函數f(x)在(-∞,-2)和(2,+∞)上為增函數,

令f′(x)<0,即3x2-12<0,

所以-2<x<2,

所以函數f(x)在(-2,2)上為減函數,

所以排除A,B;

當b=-6時,f(x)=x3-12x-6,f(-2)=-8+24-6=10,所以曲線的切點為(-2,10),

因為f′(x)=3x2-12,所以k=f′(-2)=0,

所以y=10,故C正確;

當b=0時,f(x)=x3-12x,

所以f′(x)=3x2-12=0,所以x=±2,

所以函數f(x)在(-∞,-2)和(2,+∞)上為增函數,在(-2,2)上為減函數,且f(-2)=16,f(2)=-16,

所以函數f(x)的極大值為16,極小值為-16,所以函數f(x)的圖象與直線y=10有三個公共點,故D錯.

知識點：*與函數的概念

題型：選擇題