已知函數f(x)＝x3－x2＋bx＋c.   (1)若f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數，求b的取值範圍；(2...

問題詳情：

已知函數f(x)＝x3－x2＋bx＋c.

    (1)若f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數，求b的取值範圍；

(2)若f(x)在x＝1處取得極值，且x∈[－1,2]時，f(x)<c2恆成立，求c的取值範圍．

【回答】

解：　(1)f′(x)＝3x2－x＋b，因f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數，則f′(x)≥0，即3x2－x＋b≥0，

∴b≥x－3x2在(－∞，＋∞)上恆成立．

設g(x)＝x－3x2.

當x＝時，g(x)max＝，∴b≥.

（2)由題意知f′(1)＝0，即3－1＋b＝0，∴b＝－2.

x∈[－1,2]時，f(x)<c2恆成立，只需f(x)在[－1,2]上的最大值小於c2即可．因f′(x)＝3x2－x－2，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－.∵f(1)＝－＋c，

f＝＋c，f(－1)＝＋c，

f(2)＝2＋c.

∴f(x)max＝f(2)＝2＋c，∴2＋c<c2.解得c>2或c<－1，所以c的取值範圍為(－∞，

－1)∪(2，＋∞)．

知識點：導數及其應用

題型：解答題