已知函數f(x)=x2+2alnx.(1)求函數f(x)的單調區間.(2)若函數g(x)=+f(x)在[1,2...

問題詳情：

已知函數f(x)=x2+2alnx.

(1)求函數f(x)的單調區間.

(2)若函數g(x)=+f(x)在[1,2]上是減函數,求實數a的取值範圍.

【回答】

【解析】(1)f′(x)=2x+=,函數f(x)的定義域為(0,+∞).

①當a≥0時,f′(x)>0,f(x)的單調遞增區間為(0,+∞);

②當a<0時,f′(x)=.

當x變化時,f′(x),f(x)的變化情況如下:

由表格可知,函數f(x)的單調遞減區間是(0,).

單調遞增區間是(,+∞).

(2)由g(x)=+x2+2alnx得g′(x)=-+2x+,

由已知函數g(x)為[1,2]上的單調減函數,則g′(x)≤0在[1,2]上恆成立,

即-+2x+≤0在[1,2]上恆成立.即a≤-x2在[1,2]上恆成立.

令h(x)=-x2,在[1,2]上h′(x)=--2x

=-<0,

所以h(x)在[1,2]上為減函數,h(x)min=h(2)

=-,所以a≤-.

故實數a的取值範圍為{a|a≤-}.

知識點：導數及其應用

題型：解答題