已知矩形ABCD的一條邊AD=8，將矩形ABCD摺疊，使得頂點B落在CD邊上的P點處（Ⅰ）如圖1，已知摺痕與邊...

問題詳情：

已知矩形ABCD的一條邊AD=8，將矩形ABCD摺疊，使得頂點B落在CD邊上的P點處

（Ⅰ）如圖1，已知摺痕與邊BC交於點O，連接AP、OP、OA．若△OCP與△PDA的面積比為1：4，求邊CD的長．

（Ⅱ）如圖2，在（Ⅰ）的條件下，擦去摺痕AO、線段OP，連接BP．動點M在線段AP上（點M與點P、A不重合），動點N在線段AB的延長線上，且BN=PM，連接MN交PB於點F，作ME⊥BP於點E．試問當動點M、N在移動的過程中，線段EF的長度是否發生變化？若變化，説明變化規律．若不變，求出線段EF的長度．

【回答】

解：（1）如圖1，∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠C=∠D=90°，

∴∠1+∠3=90°，

∵由摺疊可得∠APO=∠B=90°，

∴∠1+∠2=90°，

∴∠2=∠3，

又∵∠D=∠C，

∴△OCP∽△PDA；

∵△OCP與△PDA的面積比為1：4，

∴，

∴CP=AD=4，

設OP=x，則CO=8﹣x，

在Rt△PCO中，∠C=90°，

由勾股定理得 x2=（8﹣x）2+42，

解得：x=5，

∴AB=AP=2OP=10，

∴邊CD的長為10；

（2）作MQ∥AN，交PB於點Q，如圖2，

∵AP=AB，MQ∥AN，

∴∠APB=∠ABP=∠MQP．

∴MP=MQ，

∵BN=PM，

∴BN=QM．

∵MP=MQ，ME⊥PQ，

∴EQ=PQ．

∵MQ∥AN，

∴∠QMF=∠BNF，

在△MFQ和△NFB中，

，

∴△MFQ≌△NFB（AAS）．

∴QF=QB，

∴EF=EQ+QF=PQ+QB=PB，

由（1）中的結論可得：PC=4，BC=8，∠C=90°，

∴PB=，

∴EF=PB=2，

∴在（1）的條件下，當點M、N在移動過程中，線段EF的長度不變，它的長度為2．

知識點：特殊的平行四邊形

題型：綜合題