若點P是曲線y=x2﹣lnx上任意一點，則點P到直線y=x﹣2的最小距離為（　　）A． B．1   C． D．...

問題詳情：

若點P是曲線y=x2﹣lnx上任意一點，則點P到直線y=x﹣2的最小距離為（　　）

A．  B．1    C．  D．2

【回答】

C【考點】點到直線的距離公式．

【專題】轉化思想；導數的綜合應用．

【分析】由題意知，當曲線上過點P的切線和直線y=x﹣2平行時，點P到直線y=x﹣2的距離最小．求出曲線對應的函數的導數，令導數值等於1，可得切點的座標，此切點到直線y=x﹣2的距離即為所求．

【解答】解：點P是曲線y=x2﹣lnx上任意一點，

當過點P的切線和直線y=x﹣2平行時，

點P到直線y=x﹣2的距離最小．

直線y=x﹣2的斜率等於1，

令y=x2﹣lnx，得 y′=2x﹣=1，解得x=1，或x=﹣（捨去），

故曲線y=x2﹣lnx上和直線y=x﹣2平行的切線經過的切點座標為（1， 1），

點（1，1）到直線y=x﹣2的距離等於，

∴點P到直線y=x﹣2的最小距離為，

故選：C．

【點評】本題考查點到直線的距離公式的應用，函數的導數的求法及導數的意義，體現了轉化的數學思想方法，是中檔題．

知識點：圓錐曲線與方程

題型：選擇題