一副標準的三角板（如圖1）中，ÐABC為直角，ÐA=60°，ÐDEF為直角，DE=EF，BC=DF，把BC與D...

問題詳情：

一副標準的三角板（如圖1）中，ÐABC為直角，ÐA =60°，ÐDEF為直角，DE=EF，BC=DF，把BC與DF重合，拼成一個三稜錐（如圖1），設M是AC的中點，N是BC的中點．

（1）求*：平面ABC平面EMN；

（2）若AC = 4，二面角E - BC- A為直二面角，求直線EM與平面ABE所成角的正弦值．

【回答】

（1）*見解析；（2）.

【分析】

（1）只要*，，即得；

（2）以，，分別為，，，如圖建立空間直角座標系.求出線段長，得各點座標，求出直線方向向量和平面的一個法向量，由向量夾角的餘弦得所求線面角的正弦．

【詳解】

（1）*：∵是的中點，是的中點，∴，∵，∴，

∵，，是的中點，∴，又，平面，

平面 ∴平面且平面，∴平面平面.

（2）由（1）可知：，，∴為二面角的平面角，

又二面角為直二面角  ∴

以，，分別為，，，建立如圖空間直角座標系，

∵，則，，，由，，則，

又，，，則，，

設為平面的一個法向量，則即令，則

∴面ABE的一個法向量.

，所以直線與平面ABE所成的角的正弦值為.

【點睛】

關鍵點睛：解題關鍵在於求出二面角為直二面角，進而建立空間直角座標系，進行求解，但是有一定的運算量，屬於中檔題

知識點：空間中的向量與立體幾何

題型：解答題