【問題探究】（1）如圖1，△ABC和△DEC均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點B，D，E在同一...

問題詳情：

【問題探究】

（1）如圖1，△ABC和△DEC均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點B，D，E在同一直線上，連接AD，BD．

①請探究AD與BD之間的位置關係：　   　；

②若AC＝BC＝，DC＝CE＝，則線段AD的長為　   　；

【拓展延伸】

（2）如圖2，△ABC和△DEC均為直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝，BC＝，CD＝，CE＝1．將△DCE繞點C在平面內順時針旋轉，設旋轉角∠BCD為α（0°≤α＜360°），作直線BD，連接AD，當點B，D，E在同一直線上時，畫出圖形，並求線段AD的長．

【回答】

解：【問題探究】

（1）∵△ABC和△DEC均為等腰直角三角形，

∴AC＝BC，CE＝CD，∠ABC＝∠DEC＝45°＝∠CDE

∵∠ACB＝∠DCE＝90°，

∴∠ACD＝∠BCE，且AC＝BC，CE＝CD

∴△ACD≌△BCE（SAS）

∴∠ADC＝∠BEC＝45°

∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°

∴AD⊥BD

故*為：AD⊥BD

②如圖，過點C作CF⊥AD於點F，

∵∠ADC＝45°，CF⊥AD，CD＝

∴DF＝CF＝1

∴AF＝＝3

∴AD＝AF+DF＝4

故*為：4

【拓展延伸】

（2）若點D在BC右側，

如圖，過點C作CF⊥AD於點F，

∵∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝，BC＝，CD＝，CE＝1．

∴∠ACD＝∠BCE，

∴△ACD∽△BCE

∴∠ADC＝∠BEC，

∵CD＝，CE＝1

∴DE＝＝2

∵∠ADC＝∠BEC，∠DCE＝∠CFD＝90°

∴△DCE∽△CFD，

∴

即

∴CF＝，DF＝

∴AF＝＝

∴AD＝DF+AF＝3

若點D在BC左側，

∵∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝，BC＝，CD＝，CE＝1．

∴∠ACD＝∠BCE，

∴△ACD∽△BCE

∴∠ADC＝∠BEC，

∴∠CED＝∠CDF

∵CD＝，CE＝1

∴DE＝＝2

∵∠CED＝∠CDF，∠DCE＝∠CFD＝90°

∴△DCE∽△CFD，

∴

即

∴CF＝，DF＝

∴AF＝＝

∴AD＝AF﹣DF＝2

知識點：勾股定理

題型：解答題