圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直線l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．（1）*...

問題詳情：

圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直線l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．

（1）*：不論m取什麼數，直線l與圓C恆交於兩點；

（2）求直線l被圓C截得的線段的最短長度，並求此時m的值．

【回答】

解：(1)*　∵直線l的方程可化為(2x＋y－7)m＋(x＋y－4)＝0(m∈R)．

∴l過的交點M(3,1)．即l恆過定點M(3,1)，

又∵M到圓心C(1,2)的距離

d＝＝＜5，∴點M(3,1)在圓內，

∴過點M(3,1)的直線l與圓C恆交於兩點．

(2)　∵過點M(3,1)的所有弦中，弦心距d≤，弦心距、半弦長和半徑r滿足勾股定理，

∴當d2＝5時，半弦長的平方的最小值為25－5＝20.

∴弦長AB的最小值|AB|min＝4.

此時，kCM＝－，kl＝－.

∵l⊥CM，∴·＝－1，解得m＝－.

∴當m＝－時，取到最短弦長為4.

知識點：圓與方程

題型：解答題