如圖，在平面直角座標系中，平行四邊形OABC的頂點A，C的座標分別為（6，0），（4，3），經過B，C兩點的拋...

問題詳情：

如圖，在平面直角座標系中，平行四邊形OABC的頂點A，C的座標分別為（6，0），（4，3），經過B，C兩點的拋物線與x軸的一個交點D的座標為（1，0）．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）若∠AOC的平分線交BC於點E，交拋物線的對稱軸於點F，點P是x軸上一動點，當PE+PF的值最小時，求點P的座標；

（3）在（2）的條件下，過點A作OE的垂線交BC於點H，點M，N分別為拋物線及其對稱軸上的動點，是否存在這樣的點M，N，使得以點M，N，H，E為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點M的座標，若不存在，説明理由．

【回答】

解：（1）∵平行四邊形OABC中，A（6，0），C（4，3）

∴BC＝OA＝6，BC∥x軸

∴xB＝xC+6＝10，yB＝yC＝3，即B（10，3）

設拋物線y＝ax2+bx+c經過點B、C、D（1，0）

∴   解得：

∴拋物線解析式為y＝﹣x2+x﹣

（2）如圖1，作點E關於x軸的對稱點E'，連接E'F交x軸於點P

∵C（4，3）

∴OC＝

∵BC∥OA

∴∠OEC＝∠AOE

∵OE平分∠AOC

∴∠AOE＝∠COE

∴∠OEC＝∠COE

∴CE＝OC＝5

∴xE＝xC+5＝9，即E（9，3）

∴直線OE解析式為y＝x

∵直線OE交拋物線對稱軸於點F，對稱軸為直線：x＝﹣7

∴F（7，）

∵點E與點E'關於x軸對稱，點P在x軸上

∴E'（9，﹣3），PE＝PE'

∴當點F、P、E'在同一直線上時，PE+PF＝PE'+PF＝FE'最小

設直線E'F解析式為y＝kx+h

∴   解得：

∴直線E'F：y＝﹣x+21

當﹣x+21＝0時，解得：x＝

∴當PE+PF的值最小時，點P座標為（，0）．

（3）存在滿足條件的點M，N，使得以點M，N，H，E為頂點的四邊形為平行四邊形．

設AH與OE相交於點G（t，t），如圖2

∵AH⊥OE於點G，A（6，0）

∴∠AGO＝90°

∴AG2+OG2＝OA2

∴（6﹣t）2+（t）2+t2+（t）2＝62

∴解得：t1＝0（捨去），t2＝

∴G（，）

設直線AG解析式為y＝dx+e

∴   解得：

∴直線AG：y＝﹣3x+18

當y＝3時，﹣3x+18＝3，解得：x＝5

∴H（5，3）

∴HE＝9﹣5＝4，點H、E關於直線x＝7對稱

①當HE為以點M，N，H，E為頂點的平行四邊形的邊時，如圖2

則HE∥MN，MN＝HE＝4

∵點N在拋物線對稱軸：直線x＝7上

∴xM＝7+4或7﹣4，即xM＝11或3

當x＝3時，yM＝﹣×9+×9﹣＝

∴M（3，）或（11，）

②當HE為以點M，N，H，E為頂點的平行四邊形的對角線時，如圖3

則HE、MN互相平分

∵直線x＝7平分HE，點F在直線x＝7上

∴點M在直線x＝7上，即M為拋物線頂點

∴yM＝﹣×49+×7﹣＝4

∴M（7，4）

綜上所述，點M座標為（3，）、（11，）或（7，4）．

知識點：各地中考

題型：綜合題