問題詳情:
如圖,四邊形ABCD為菱形,∠ABC=120°,E,F是平面ABCD同一側的兩點,BE丄平面ABCD,DF丄平面 ABCD,BE=2DF,AE丄EC.
(Ⅰ)*:平面AEC丄平面AFC
(Ⅱ)求直線AE與直線CF所成角的餘弦值.
【回答】
【分析】(Ⅰ)連接BD,設BD∩AC=G,連接EG、EF、FG,運用線面垂直的判定定理得到EG⊥平面AFC,再由面面垂直的判定定理,即可得到;
(Ⅱ)以G為座標原點,分別以GB,GC為x軸,y軸,|GB|為單位長度,建立空間直角座標系G﹣xyz,求得A,E,F,C的座標,運用向量的數量積的定義,計算即可得到所求角的餘弦值.
【解答】解:(Ⅰ)連接BD,
設BD∩AC=G,
連接EG、EF、FG,
在菱形ABCD中,
不妨設BG=1,
由∠ABC=120°,
可得AG=GC=,
BE⊥平面ABCD,AB=BC=2,
可知AE=EC,又AE⊥EC,
所以EG=,且EG⊥AC,
在直角△EBG中,可得BE=,故DF=,
在直角三角形FDG中,可得FG=,
在直角梯形BDFE中,由BD=2,BE=,FD=,可得EF==,
從而EG2+FG2=EF2,則EG⊥FG,
(或由tan∠EGB•tan∠FGD=•=•=1,
可得∠EGB+∠FGD=90°,則EG⊥FG)
AC∩FG=G,可得EG⊥平面AFC,
由EG⊂平面AEC,所以平面AEC⊥平面AFC;
(Ⅱ)如圖,以G為座標原點,分別以GB,GC為x軸,y軸,|GB|為單位長度,
建立空間直角座標系G﹣xyz,由(Ⅰ)可得A(0,﹣,0),E(1,0,),
F(﹣1,0,),C(0,,0),
即有=(1,,),=(﹣1,﹣,),
故cos<,>===﹣.
則有直線AE與直線CF所成角的餘弦值為.
【點評】本題考查空間直線和平面的位置關係和空間角的求法,主要考查面面垂直的判定定理和異面直線所成的角的求法:向量法,考查運算能力,屬於中檔題.
知識點:點 直線 平面之間的位置
題型:解答題