如圖，菱形ABCD與正三角形BCE的邊長均為2，它們所在平面互相垂直，FD⊥平面ABCD，且FD=．（I）求*...

問題詳情：

如圖，菱形ABCD與正三角形BCE的邊長均為2，它們所在平面互相垂直，FD⊥平面ABCD，且FD=．

（I）求*：EF∥平面ABCD；

（Ⅱ）若∠CBA=60°，求二面角A﹣FB﹣E的餘弦值．

【回答】

【考點】二面角的平面角及求法．

【專題】數形結合；空間位置關係與距離；立體幾何．

【分析】（I）根據線面平行的判定定理即可*EF∥平面ABCD；

（Ⅱ），建立空間座標系，利用向量法即可求二面角A﹣FB﹣E的餘弦值．

【解答】解：（Ⅰ）如圖，過點E 作 EH⊥BC於H，連接HD，

∴EH=．

∵平面ABCD⊥平面BCE，EH⊂平面BCE，

平面ABD∩平面BCE=BC，

∴EH⊥平面ABCD，

又∵FD⊥平面ABCD，FD=，

∴FD∥EH．FD=EH

∴四邊形EHDF 為平行四邊形．

∴EF∥HD

∵EF⊄平面ABCD，HD⊂平面ABCD，

∴EF∥平面ABCD

（Ⅱ）連接HA 由（Ⅰ），得H 為BC 中點，

又∠CBA=60°，△ABC 為等邊三角形，

∴AH⊥BC，

分別以HB，HA，HE 為x，y，z 軸建立如圖所示的空間直角座標系H﹣xyz．

則 B（1，0，0），F（﹣2，，），E（0，0，），A（0，，0）

=（﹣3，，），=（﹣1，，0），=（﹣1，0，），

設平面EBF 的法向量為=（x，y，z）．

由得

令z=1，得=（，2，1）．

設平面ABF的法向量為=（x，y，z）．

由得

令y=1，得=（，1，2）

cos＜，＞====

故二面角A﹣FB﹣E的餘弦值是．

【點評】本題綜合考查空間中線線、線面的位置關係和空間中角的計算，涉及二面角的平面角，傳統方法和座標向量法均可，考查的知識面較廣，難度中等．

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題