如圖，已知拋物線的對稱軸是直線x=3，且與x軸相交於A，B兩點（B點在A點右側）與y軸交於C點．（1）求拋物線...

問題詳情：

如圖， 已知拋物線的對稱軸是直線x=3，且與x軸相交於A，B兩點（B點在A點右側）與y軸交於C點 ．

（1）求拋物線的解析式和A、B兩點的座標；

（2）若點P是拋物線上B、C兩點之間的一個動點（不與B、C重合），則是否存在一點P，使△PBC的面積最大．若存在，請求出△PBC的最大面積；若不存在，試説明理由；

（3）若M是拋物線上任意一點，過點M作y軸的平行線，交直線BC於點N，當MN=3時，求M點的座標 ．

【回答】

（1），點A的座標為(-2，0)，點B的座標為(8，0)；（2）存在點P，使△PBC的面積最大，最大面積是16，理由見解析；（3）點M的座標為(4-2，)、(2，6)、(6，4)或(4+2，-)．

【分析】

（1） 由拋物線的對稱軸為直線x=3，利用二次函數的*質即可求出a值， 進而可得出拋物線的解析式， 再利用二次函數圖象上點的座標特徵， 即可求出點A、B的座標；

（2） 利用二次函數圖象上點的座標特徵可求出點C的座標， 由點B、C的座標， 利用待定係數法即可求出直線BC的解析式， 假設存在， 設點P的座標為（x,），過點P作PD//y軸， 交直線BC於點D，則點D的座標為（x,），PD=- x2+2x，利用三角形的面積公式即可得出三角形PBC的面積關於x的函數關係式， 再利用二次函數的*質即可解決最值問題；

（3） 設點M的座標為（m,），則點N的座標為（m,），進而可得出MN，結合MN=3即可得出關於m的含絕對值符號的一元二次方程， 解之即可得出結論 ．

【詳解】

（1）拋物線的對稱軸是直線，

，解得：，

拋物線的解析式為．

當時，，

解得：，，

點的座標為，點的座標為．

（2） 當時，，

點的座標為．

設直線的解析式為．

將、代入，

，解得：，

直線的解析式為．

假設存在， 設點的座標為，過點作軸， 交直線於點，則點的座標為，如圖所示 ．

，

．

，

當時，的面積最大， 最大面積是 16 ．

，

存在點，使的面積最大， 最大面積是 16 ．

（3） 設點的座標為，則點的座標為，

．

又，

．

當時， 有，

解得：，，

點的座標為或；

當或時， 有，

解得：，，

點的座標為，或，．

綜上所述：點的座標為，、、或，．

【點睛】

本題考查了二次函數的*質、 二次函數圖象上點的座標特徵、 待定係數法求一次函數解析式以及三角形的面積， 解題的關鍵是： （1） 利用二次函數的*質求出a的值； （2） 根據三角形的面積公式找出關於x的函數關係式； （3） 根據MN的長度， 找出關於m的含絕對值符號的一元二次方程 ．

知識點：二次函數的圖象和*質

題型：解答題