問題詳情:
如圖1,拋物線與拋物線相交y軸於點C,拋物線與x軸交於A、B兩點(點B在點A的右側),直線交x軸負半軸於點N,交y軸於點M,且.
(1)求拋物線的解析式與k的值;
(2)拋物線的對稱軸交x軸於點D,連接,在x軸上方的對稱軸上找一點E,使以點A,D,E為頂點的三角形與相似,求出的長;
(3)如圖2,過拋物線上的動點G作軸於點H,交直線於點Q,若點是點Q關於直線的對稱點,是否存在點G(不與點C重合),使點落在y軸上?若存在,請直接寫出點G的橫座標,若不存在,請説明理由.
【回答】
(1),k的值為;(2)的長為或10;(3)存在,點G的橫座標為或或或.
【解析】(1)根據拋物線可求得點C的座標,代入即可求得t的值,由,求得點N的座標,進而求得k的值;
(2)因為∠AOC=∠EDA=90°已確定,所以分兩種情況討論△BDA與△AOC相似,通過對應邊的比相等可求出DE的長;
(3)先根據題意畫出圖形,通過軸對稱的*質等*四邊形QMQ'G為菱形,分別用字母表示出Q,G的座標,分兩種情況討論求出GQ'的長度,利用三角函數可求出點G的橫座標.
【詳解】(1)當時,,
∴點C的座標為 (0,4),
∵點C (0,4)在拋物線的圖象上,
∴,
∴,
∴拋物線的解析式為,
∵C (0,4),,
∴,
∴點N的座標為 (,0),
∵直線過N (,0),
∴,
解得,
∴拋物線的解析式為,k的值為;
(2)連接,
令,則,
解得,
∴點A的座標為 (,0),點B的座標為 (4,0),
∴拋物線的對稱軸為直線.
∴點A的座標為 (,0),
∵C (0,4),
∴,,,
①當時,
,
∴,
∴;
②當時,
,
∴,
∴,
綜上,的長為或10;
(3)如圖,點是點Q關於直線的對稱點,且點在y軸上時,
由軸對稱*質可知,,,,
∵軸,∴軸.
∴,
∴,
∴,
∴,
∴四邊形為菱形,
∴,
作軸於點P,
設,
則,
∴,
,
∵,
∴,
令,則,令,則,
∴直線與座標軸的交點分別為M (0,3),N(,0),
∴OM=3,ON=4,
在中,,
∴,
【點睛】本題是二次函數與幾何的綜合題,考查了用待定係數法求解析式,三角形相似的判定和*質,軸對稱的*質及三角函數等,解題關鍵是能夠根據題意畫出圖形及靈活運用分類討論的思想解題.
知識點:相似三角形
題型:綜合題