已知*A的元素全為實數,且滿足若a∈A,則∈A.(1)若a=-3,求出A中其他所有元素.(2)0是不是*A...

問題詳情：

已知*A的元素全為實數,且滿足若a∈A,則∈A.

(1)若a=-3,求出A中其他所有元素.

(2)0是不是*A中的元素?請你設計一個實數a∈A,再求出A中的所有元素.

(3)根據(1)(2),你能得出什麼結論?

【回答】

解(1)由-3∈A,得=-∈A.

由-∈A,得∈A.

由∈A,得=2∈A.

由2∈A,得=-3∈A.

故A=.

故A中的其他元素為-,2.

(2)0不是A中的元素.若0∈A,則=1∈A,而當1∈A時,不存在,故0不是A中的元素.取a=3,可得A=.

(3)猜想:①A中沒有元素-1,0,1;

②A中有4個元素,且有兩組元素都互為負倒數.

①由(2)知:0,1∉A.若-1∈A,則=0,而0∉A,故-1∉A;

②設a1∈A,則a1∈A⇒=a2∈A⇒a3==-∈A⇒a4=∈A⇒a5==a1∈A.

又由*元素的互異*知,A中最多隻有4個元素a1,a2,a3,a4,且a1a3=-1,a2a4=-1.若a1=a2,則=-1,無實數解,即a1≠a2;同理,a1,a2,a3,a4互不相等.故A中有4個元素,且有兩組元素都互為負倒數.

知識點：*與函數的概念

題型：解答題