問題詳情:
已知數列{an}滿足對任意的n∈N*,都有a13+a23+…+an3=(a1+a2+…+an)2且an>0.
(1)求a1,a2的值;
(2)求數列{an}的通項公式;
(3)若bn=,記Sn=,如果Sn<對任意的n∈N*恆成立,求正整數m的最小值.
【回答】
【考點】8E:數列的求和.
【分析】(1)由題設條件知a1=1.當n=2時,有a13+a23=(a1+a2)2,由此可知a2=2.
(2)由題意知,an+13=(a1+a2++an+an+1)2﹣(a1+a2++an)2,由於an>0,所以an+12=2(a1+a2++an)+an+1.同樣有an2=2(a1+a2++an﹣1)+an(n≥2),由此得an+12﹣an2=an+1+an.所以an+1﹣an=1.所以數列{an}是首項為1,公差為1的等差數列,由通項公式即可得到所求.
(3)求得bn===2[﹣],運用數列的求和方法:裂項相消求和,可得Sn,結合不等式的*質,恆成立思想可得m≥,進而得到所求最小值.
【解答】解:(1)當n=1時,有a13=a12,
由於an>0,所以a1=1.
當n=2時,有a13+a23=(a1+a2)2,
將a1=1代入上式,可得a22﹣a2﹣2=0,
由於an>0,所以a2=2.
(2)由於a13+a23+…+an3=(a1+a2+…+an)2,①
則有a13+a23+…+an3+an+13=(a1+a2+…+an+an+1)2.②
②﹣①,得an+13=(a1+a2+…+an+an+1)2﹣(a1+a2+…+an)2,
由於an>0,所以an+12=2(a1+a2+…+an)+an+1.③
同樣有an2=2(a1+a2+…+an﹣1)+an(n≥2),④
③﹣④,得an+12﹣an2=an+1+an.
所以an+1﹣an=1.
由於a2﹣a1=1,即當n≥1時都有an+1﹣an=1,
所以數列{an}是首項為1,公差為1的等差數列.
故an=n.
(3)bn===2[﹣],
則Sn=2[﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣]
=2[+﹣﹣]<2×=,
Sn<對任意的n∈N*恆成立,可得≥,
即有m≥,
可得正整數m的最小值為4.
知識點:數列
題型:解答題