問題詳情:
有對稱中心的曲線叫做有心曲線,顯然圓、橢圓、雙曲線都是有心曲線. 過有心曲線的中心的弦叫有心曲線的直徑,(為研究方便,不妨設直徑所在直線的斜率存在).
定理:過圓上異於直徑兩端點的任意一點與一條直徑的兩個端點連線,則兩條連線的斜率之積為定值-1.
(Ⅰ)寫出該定理在橢圓中的推廣,並加以*;
(Ⅱ)寫出該定理在雙曲線中的推廣;你能從上述結論得到有心圓錐曲線(包括橢圓、雙曲線、圓)的一般*結論嗎?請寫出你的結論.
【回答】
解:(Ⅰ)設直徑的兩個端點分別為A、B,由橢圓的對稱*可得,A、B關於中心O(0,0)對稱,所以A、B點的座標分別為A(,B(.
P(上橢圓上任意一點,顯然,
因為A、B、P三點都在橢圓上,所以有
, ①
, ②.
而,
由①-②得:.
所以該定理在橢圓中的推廣為:過橢圓上異於直徑兩端點的任意一點與一條直徑的兩個端點連線,則兩條連線的斜率之積為定值.
(Ⅱ)在雙曲線中的推廣為:過雙曲線上異於直徑兩端點的任意一點與一條直徑的兩個端點連線,則兩條連線的斜率之積為定值
該定理在有心圓錐曲線中的推廣應為:過有心圓錐曲線上異於 直徑兩端點的任意一點與一條直徑的兩個端點連線,則兩條連線的斜率之積為定值-
知識點:推理與*
題型:綜合題