閲讀理解：在平面直角座標系中，若兩點P、Q的座標分別是P（x1，y1）、Q（x2，y2），則P、Q這兩點間的距...

問題詳情：

閲讀理解：在平面直角座標系中，若兩點P、Q的座標分別是P（x1，y1）、

Q（x2，y2），則P、Q這兩點間的距離為|PQ|=．如P（1，2），Q（3，4），則|PQ|==2．

對於某種幾何圖形給出如下定義：符合一定條件的動點形成的圖形，叫做符合這個條件的點的軌跡．如平面內到線段兩個端點距離相等的點的軌跡是這條線段的垂直平分線．

解決問題：如圖，已知在平面直角座標系xOy中，直線y=kx+交y軸於點A，點A關於x軸的對稱點為點B，過點B作直線l平行於x軸．

（1）到點A的距離等於線段AB長度的點的軌跡是　x2+（y﹣）2=1　；

（2）若動點C（x，y）滿足到直線l的距離等於線段CA的長度，求動點C軌跡的函數表達式；

問題拓展：（3）若（2）中的動點C的軌跡與直線y=kx+交於E、F兩點，分別過E、F作直線l的垂線，垂足分別是M、N，求*：①EF是△AMN外接圓的切線；②+為定值．

【回答】

【解答】解：（1）設到點A的距離等於線段AB長度的點D座標為（x，y），

∴AD2=x2+（y﹣）2，

∵直線y=kx+交y軸於點A，

∴A（0，），

∵點A關於x軸的對稱點為點B，

∴B（0，﹣），

∴AB=1，

∵點D到點A的距離等於線段AB長度，

∴x2+（y﹣）2=1，

故*為：x2+（y﹣）2=1；

（2）∵過點B作直線l平行於x軸，

∴直線l的解析式為y=﹣，

∵C（x，y），A（0，），

∴AC2=x2+（y﹣）2，點C到直線l的距離為：（y+），

∵動點C（x，y）滿足到直線l的距離等於線段CA的長度，

∴x2+（y﹣）2=（y+）2，

∴動點C軌跡的函數表達式y=x2，

（3）①如圖，

設點E（m，a）點F（n，b），

∵動點C的軌跡與直線y=kx+交於E、F兩點，

∴，

∴x2﹣2kx﹣1=0，

∴m+n=2k，mn=﹣1，

∵過E、F作直線l的垂線，垂足分別是M、N，

∴M（m，﹣），N（n，﹣），

∵A（0，），

∴AM2+AN2=m2+1+n2+1=m2+n2+2=（m+n）2﹣2mn+2=4k2+4，

MN2=（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn=4k2+4，

∴AM2+AN2=MN2，

∴△AMN是直角三角形，MN為斜邊，

取MN的中點Q，

∴點Q是△AMN的外接圓的圓心，

∴Q（k，﹣），

∵A（0，），

∴直線AQ的解析式為y=﹣x+，

∵直線EF的解析式為y=kx+，

∴AQ⊥EF，

∴EF是△AMN外接圓的切線；

②*：∵點E（m，a）點F（n，b）在直線y=kx+上，

∴a=mk+，b=nk+，

∵ME，NF，EF是△AMN的外接圓的切線，

∴AE=ME=a+=mk+1，AF=NF=b+=nk+1，

∴+=+====2，

即：+為定值，定值為2．

【點評】此題是圓的綜合題，主要考查了待定係數法，兩點間的距離公式，直角三角形的判定和*質，根與係數的關係，圓的切線的判定和*質，利用根與係數的確定出m+n=2k，mn=﹣1是解本題是關鍵．

知識點：各地中考

題型：綜合題