問題詳情:
如圖,在平面直角座標系xOy中,直線y=x+4與座標軸分別交於A、B兩點,過A、B兩點的拋物線為y=﹣x2+bx+c.點D為線段AB上一動點,過點D作CD⊥x軸於點C,交拋物線於點E.
(1)求拋物線的解析式.
(2)當DE=4時,求四邊形CAEB的面積.
(3)連接BE,是否存在點D,使得△DBE和△DAC相似?若存在,求此點D座標;若不存在,説明理由.
【回答】
考點:
二次函數綜合題.
分析:
(1)首先求出點A、B的座標,然後利用待定係數法求出拋物線的解析式;
(2)設點C座標為(m,0)(m<0),根據已知條件求出點E座標為(m,8+m);由於點E在拋物線上,則可以列出方程求出m的值.在計算四邊形CAEB面積時,利用S四邊形CAEB=S△ACE+S梯形OCEB﹣S△BCO,可以簡化計算;
(3)由於△ACD為等腰直角三角形,而△DBE和△DAC相似,則△DBE必為等腰直角三角形.分兩種情況討論,要點是求出點E的座標,由於點E在拋物線上,則可以由此列出方程求出未知數.
解答:
解:(1)在直線解析式y=x+4中,令x=0,得y=4;令y=0,得x=﹣4,
∴A(﹣4,0),B(0,4).
∵點A(﹣4,0),B(0,4)在拋物線y=﹣x2+bx+c上,
∴,
解得:b=﹣3,c=4,
∴拋物線的解析式為:y=﹣x2﹣3x+4.
(2)設點C座標為(m,0)(m<0),則OC=﹣m,AC=4+m.
∵OA=OB=4,∴∠BAC=45°,
∴△ACD為等腰直角三角形,∴CD=AC=4+m,
∴CE=CD+DE=4+m+4=8+m,
∴點E座標為(m,8+m).
∵點E在拋物線y=﹣x2﹣3x+4上,
∴8+m=﹣m2﹣3m+4,解得m=﹣2.
∴C(﹣2,0),AC=OC=2,CE=6,
S四邊形CAEB=S△ACE+S梯形OCEB﹣S△BCO=×2×6+(6+4)×2﹣×2×4=12.
(3)設點C座標為(m,0)(m<0),則OC=﹣m,CD=AC=4+m,BD=OC=﹣m,則D(m,4+m).
∵△ACD為等腰直角三角形,△DBE和△DAC相似
∴△DBE必為等腰直角三角形.
i)若∠BED=90°,則BE=DE,
∵BE=OC=﹣m,
∴DE=BE=﹣m,
∴CE=4+m﹣m=4,
∴E(m,4).
∵點E在拋物線y=﹣x2﹣3x+4上,
∴4=﹣m2﹣3m+4,解得m=0(不合題意,捨去)或m=﹣3,
∴D(﹣3,1);
ii)若∠EBD=90°,則BE=BD=﹣m,
在等腰直角三角形EBD中,DE=BD=﹣2m,
∴CE=4+m﹣2m=4﹣m,
∴E(m,4﹣m).
∵點E在拋物線y=﹣x2﹣3x+4上,
∴4﹣m=﹣m2﹣3m+4,解得m=0(不合題意,捨去)或m=﹣2,
∴D(﹣2,2).
綜上所述,存在點D,使得△DBE和△DAC相似,點D的座標為(﹣3,1)或(﹣2,2).
點評:
本題考查了二次函數與一次函數的圖象與*質、函數圖象上點的座標特徵、待定係數法、相似三角形、等腰直角三角形、圖象面積計算等重要知識點.第(3)問需要分類討論,這是本題的難點.
知識點:各地中考
題型:選擇題