問題詳情：
已知數列
的首項為
，且滿足
，則下列命題：①
是等差數列；②
是遞增數列；③設函數
，則存在某個區間
，使得
在
上有唯一零點；則其中正確的命題序號為________
【回答】
②③
【解析】
對於①，將已知遞推關係式變形可*得數列為等比數列；對於②，結合等比數列通項公式可求得
，可驗*出
，知數列遞增；對於③，結合指數函數單調*可確定
單調*，利用零點存在定理可得到結論.
【詳解】
對於①，由
得：
，
又
，
是首項為
，公比為
的等比數列，①錯誤；
對於②，由①知：
，
，
，
是遞增數列，②正確；
對於③，由②知：
，
單調遞減，
單調遞增
，
，
當
時，
，
，即
，由零點存在定理知③正確；
綜上所述：正確的命題序號為②③.
故*為：②③.
【點睛】
本題考查數列與函數綜合應用問題，涉及到利用遞推關係式*數列為等比數列、根據遞推關係式求解數列通項公式和確定數列增減*、零點存在定理的應用等知識；解題關鍵是能夠熟練掌握數列增減*和函數單調*的判斷方法.
知識點：基本初等函數I
題型：填空題
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