問題詳情:
設數列:A:a1,a2,…,an,B:b1,b2,…,bn.已知ai,bj∈{0,1}(i=1,2,…,n;j=1,2,…,n),定義n×n數表,其中xij.
(1)若A:1,1,1,0,B:0,1,0,0,寫出X(A,B);
(2)若A,B是不同的數列,求*:n×n數表X(A,B)滿足“xij=xji(i=1,2,…,n;j=1,2,…,n;ij)”的充分必要條件為“ak+bk=1(k=1,2,…,n)”;
(3)若數列A與B中的1共有n個,求*:n×n數表X(A,B)中1的個數不大於.
【回答】
(1);(2)*見解析;(3)*見解析.
【分析】
(1)根據題中給的定義寫出X(A,B);
(2)可先*充分*,充分*由定義易*;再*必要*,注意分類討論:先分a1=0和a1=1兩類,a1=0較易*,對a1=1再分b1=0和b1=1兩類*,運用xij分析推理可得;
(3)根據數列A與B中的1共有n個,設A中1的個數為p,則A中0的個數為n﹣p,B中1的個數為n﹣p,B中0的個數為p.表示出n×n數表X(A,B)中1的個數,再用不等式*得n×n數表X(A,B)中1的個數不大於.
【詳解】
(1)解:.
(2)*:充分*
若ak+bk=1(k=1,2,…,n),由於xij,xji,
令 A:a1,a2,…,an,由此數列 B:1﹣a1,1﹣a2,…,1﹣an.
由於 ai=bj⇔ai=1﹣aj⇔ai+aj=1⇔aj=1﹣ai⇔aj=bi.
從而有 xij=xji(i=1,2,…,n;j=1,2,…,n;ij).
必要*
若xij=xji(i=1,2,…,n;j=1,2,…,n;ij).
由於A,B是不同的數列,
設a1=1,b1=0,對任意的正整數k>1,
①若x1k=xk1=1,可得 a1=bk=1,ak=b1=0,
所以 ak+bk=1.
②若x1k=xk1=0,可得 bk=0,ak=1,
所以ak+bk=1.
同理可* ,b1=1時,有ak+bk=1(k=1,2,…,n)成立.
設a1=1,b1=1,對任意的正整數k>1,
①若x1k=xk1=1,可得a1=bk=1,ak=b1=1,
所以有ak=bk=1,則A,B是相同的數列,不符合要求.
②若x1k=xk1=0,可得bk=0,ak=0,
所以有ak=bk,則A,B是相同的數列,不符合要求.
同理可* a1=0,b1=0時,A,B是相同的數列,不符合要求.
綜上,有n×n數表X(A,B)滿足“xij=xji”的充分必要條件為“ak+bk=1(k=1,2,…,n)”.
(3)*:由於數列A,B中的1共有n個,設A中1的個數為p,
由此,A中0的個數為n﹣p,B中1的個數為n﹣p,B中0的個數為p.
若 ai=1,則數表X(A,B)的第i行為數列B:b1,b2,…,bn,
若 ai=0,則數表X(A,B)的第i行為數列B:1﹣b1,1﹣b2,…,1﹣bn,
所以 數表X(A,B)中1的個數為.
所以 n×n數表X(A,B)中1的個數不大於.
【點睛】
本題是以數列、矩陣和分段函數為背景的新概念題目,考查學生的理解能力,應用能力,分類討論思想,是一道較難的綜合題.
知識點:數列
題型:解答題